Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tích phân từng phần, sử dụng phương pháp đổi biến số cho tích phân hàm ẩn

Giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
{\rm{d}}v = f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .\)

Ta có \(\left. x.f\left( x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}.f\left( \frac{\pi }{2} \right),\) thay \(x=\frac{\pi }{2}\) vào giả thiết, ta được \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)+f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0.\)

Lại có \(f\left( x \right)+f\left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.\cos x\,\text{d}x}\)

Đặt \(t=\frac{\pi }{2}-x\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\,\text{d}x}\,\,\Rightarrow \,\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{1}{4}.\) Vậy \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=-\frac{1}{4}.\)

Chọn D