Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: \({5^n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm n.

+) Sử dụng khai triển nhị thức Newton tìm hệ số của \({x^3}\).

Giải chi tiết:

Xét tổng \({\left( {5 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.5}^{n - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}}  = {5^n}C_n^0 - {5^{n - 1}}C_n^1 + {5^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 1024.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {4^n} = 1024 \Rightarrow n = {\log _4}1024 = 5\\ \Rightarrow {\left( {3 - x} \right)^n} = {\left( {3 - x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.3}^k}.{{\left( { - x} \right)}^{5 - k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.3}^k}.{{\left( { - 1} \right)}^{5 - k}}.{x^{5 - k}}} \end{array}\)

Cho \(5 - k = 3 \Rightarrow k = 2 \Rightarrow \) Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển trên là \(C_5^2{.3^2}.{\left( { - 1} \right)^3} =  - 90\).

Chọn B.