Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), tìm tọa độ điểm I.

+) Chứng minh \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất.

+) MI nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (P).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( x;y;z \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 + x - 3 + 3\left( {x - 2} \right) = 0\\y - 4 + y - 4 + 3\left( {y + 1} \right) = 0\\z - 5 + z + 3z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{align}  P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}} \\ P=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}+3M{{I}^{2}}+6\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+3I{{C}^{2}} \\ P=5M{{I}^{2}}+\underbrace{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}}_{const}+2\overrightarrow{MI}\underbrace{\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)}_{\overrightarrow{0}} \\  \Rightarrow {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }} \\ \end{align}\)

Khi đó M là hình chiếu của I trên (P).

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) \(\Rightarrow d:\,\,\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-1}{-2}\Rightarrow M\left( 3t+2;-3t+1;-2t+1 \right)\).

\(M\in \left( P \right)\Rightarrow 3\left( 3t+2 \right)-3\left( -3t+1 \right)-2\left( -2t+1 \right)-12=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow M\left( \frac{7}{2};-\frac{1}{2};0 \right)\Rightarrow a+b+c=3\).

Chọn A.