Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\fr...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 +) \(\Delta //\left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\).

+) Sử dụng công thức \(\cos \left( \Delta ;d \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| {{\overrightarrow{u}}_{d}}.{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{d}} \right|.\left| {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right|}\).

+) Để góc giữa \(\Delta \) và d là nhỏ nhất thì \(\cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right)\,\max \).

Giải chi tiết:

Ta có : \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;2 \right)\) Do \(\Delta //\left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\Rightarrow 2m-n+2=0\Leftrightarrow n=2m+2\)

Ta có \(\cos \left( \Delta ;d \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 4m-4n+3 \right|}{\sqrt{41}.\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+1}}=\frac{\left| 4m-4\left( 2m+2 \right)+3 \right|}{\sqrt{41}.\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}+1}}=\frac{\left| -4m-5 \right|}{\sqrt{41}.\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}\)

Để góc giữa \(\Delta \) và d là nhỏ nhất thì \(\cos \left( {{\overrightarrow{u}}_{d}};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right)\,\max \) \(\Rightarrow f\left( m \right)=\frac{\left| -4m-5 \right|}{\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}\,\,\,\max \Rightarrow g\left( m \right)={{f}^{2}}\left( m \right)=\frac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}\,\,\max \) Có \(g'\left( x \right)=\frac{\left( 32m+40 \right)\left( 5{{m}^{2}}+8m+5 \right)-\left( 16{{m}^{2}}+40m+25 \right)\left( 10m+8 \right)}{{{\left( 5{{m}^{2}}+8m+5 \right)}^{2}}}=\frac{-72{{m}^{2}}-90m}{{{\left( 5{{m}^{2}}+8m+5 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=-\frac{5}{4} \\ \end{align} \right.\)

Lập BBT ta thấy \(\max g\left( m \right)=5\Leftrightarrow m=0\Rightarrow n=2\) Vậy \(T={{m}^{2}}-{{n}^{2}}=-4\).

Chọn D.