Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm đa thức bậc ba có cực trị (tương đương với điều kiện có 2 điểm cực trị) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{TXD:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D = R}\\\begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\\ \Rightarrow y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\, = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\end{array}\)

+) Với \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số có 1 điểm cực trị.

+) Với \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

Để đồ thị hàm số có cực trị (có 2 cực trị) khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  m+1\ne 0  \\  {\Delta }'=1-\left( m+1 \right)\left( 2m+1 \right)>0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ne \text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1  \\   -2{{m}^{2}}-3m>0  \\\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Kết hợp 2 TH ta thấy hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};\,\,0} \right).\)

Chọn B.