Xét sự biến thiên của các hàm số sau

- Hướng dẫn giải

❶ Điều kiện xác định của hàm số $\left[1;+\infty \right)$

Với mọi $x,y\in \left[1;+\infty \right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}}{x-y}\\ =\frac{x-y}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\left(x-y\right)}\\ =\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}>0\end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên điều kiện xác định.

❷  Điều kiện xác định của hàm số $\left(-\infty ;2\right]$

Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;2\right],x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}}{x-y}\\ =\frac{y-x}{\left(\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}\right)\left(y-x\right)}\\ =\frac{-1}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}}>0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên điều kiện xác định.