Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương tr...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ứng dụng GTLN và GTNN vào giải bất phương trình chứa tham số.

\(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in K\) thì \(m\le \underset{K}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\).

B1: Tìm GTNN của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+1}\)trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\).

B2: \(m\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\).

Ta có \({y}'=\frac{\left( 2x+3 \right)\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3x+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\ge 0;\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\).

Nên \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 0 \right)=3\).

Để bất phương trình \(\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+1}\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ 0;1 \right]\) thì \(m\le \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y\Leftrightarrow m\le 3\).

Chọn D.