Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \({{\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đại diện đưa về phương trình bậc hai ẩn x và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(3{{x}^{2}}+3x+m+1>0\). Phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{align}& \ \ \ \ \ {{\log }_{2}}\left( \frac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1} \right)-1={{x}^{2}}-5x+1-m \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{4{{x}^{2}}-2x+2}=4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}-2x-3x+2-1-m \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right) \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)\ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\\end{align}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t\) trên \(D=\left( 0;+\infty  \right)\), có \({f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t.\ln 2}>0,\ \ \forall t\in D.\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(D\)\(\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2x+2=3{{x}^{2}}+3x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=m-1\ \ \ \left( 2 \right)\)  

Xét hàm số: \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-5x\) trên \(\mathbb{R}\), có \({g}'\left( x \right)=2x-5\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(1\) khi và chỉ khi \(-\frac{25}{4}<m-1<-\,4\Leftrightarrow -\frac{21}{4}<m<-\,3\), do \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ -\,5;-\,4 \right\}.\)

Chọn C