Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp, tách thành 2 tích phân và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}\int\limits_{1}^{2}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\left( 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)}{9{{x}^{2}}-\left( 9{{x}^{2}}-1 \right)}dx} \\=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-x\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{3{{x}^{2}}dx}-\int\limits_{1}^{2}{x\sqrt{9{{x}^{2}}-1}dx}={{I}_{1}}-{{I}_{2}} \\{{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{3{{x}^{2}}dx}=\left. {{x}^{3}} \right|_{1}^{2}=8-1=7 \\\end{align}\)

Đặt \(\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=t\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-1={{t}^{2}}\Leftrightarrow 18xdx=2tdt\Leftrightarrow xdx=\frac{1}{9}tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{align}x=1\Rightarrow t=2\sqrt{2} \\x=2\Rightarrow t=\sqrt{35} \\\end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{9}\int\limits_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } {{t^2}dt}  = \left. {\frac{{{t^3}}}{{27}}} \right|_{2\sqrt 2 }^{\sqrt {35} } = \frac{{35\sqrt {35} }}{{27}} - \frac{{16\sqrt 2 }}{{27}}\\ \Rightarrow I = 7 + \frac{{16\sqrt 2 }}{{27}} - \frac{{35\sqrt {35} }}{{27}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{{16}}{{27}}\\c =  - \frac{{35}}{{27}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = a + 2b + c - 7 =  - \frac{1}{9}\end{array}\)

Chọn B.