Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tập hợp điểm cố định của mặt phẳng (P).

Đánh giá vị trí của H để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  (P):x+my+(2m+1)z-(2+m)=0 \\  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow m(y+2z-1)+x+z-2=0 \\ \end{align}\)

Khi đó, (P) luôn đi qua đường thẳng cố định

(d): \(\left\{ \begin{align}  y+2z-1=0 \\  x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\) với mọi m.

Do A, (d) cố định nên đoạn AK (K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d) là cố định.

Vì \(AH\bot (P)\Rightarrow AH\le AK\Rightarrow A{{H}_{\max }}=AK\) khi và chỉ khi H trùng K, hay khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi H trùng K.

+) Ta tìm tọa độ của điểm K:

(d): \(\left\{ \begin{align}  y+2z-1=0 \\  x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\)

Cho \(z=0\Rightarrow y=1;x=2\Rightarrow I(2;1;0)\in d\)

Đặt \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;1;2 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;0;1 \right)\), (d) có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(1;2;-1)\)

Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ \begin{align}  x=2+t \\  y=1+2t \\  z=-t \\ \end{align} \right.\)

\(K\in (d)\Rightarrow K(2+t;1+2t;-t)\)

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, Khi đó, (Q) có 1 VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{u}\left( 1;2;-1 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (Q): \(1(x-2)+2(y-1)-1(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y-z-1=0\)

\(K\in (Q)\Rightarrow 2+t+2(1+2t)-(-t)-1=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\) \(\Rightarrow K\left( \frac{7}{6};\frac{-2}{3};\frac{5}{6} \right)\Rightarrow a=\frac{3}{2},\,\,b=0\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}\).

Chọn: D