Cho phương trình: \({{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

+) Biến đổi biểu thức bài cho và sử dụng hệ thức Vi-et để tìm m.

Giải chi tiết:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\)

\(\Delta =4{{(m-1)}^{2}}-4({{m}^{2}}-3)>0\Leftrightarrow -8m+16>0\Leftrightarrow m<2.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có:  \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m-1) \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\ \end{align} \right.\)

Ta có : \({{x}_{1}}\) là nghiệm của phương trình \(\Rightarrow x_{1}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{1}}+{{m}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=2\left( m-1 \right){{x}_{1}}-{{m}^{2}}+3.\)

\( \begin{array}{l}
\Rightarrow {x_1}^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = 1\\
\Leftrightarrow 2(m - 1){x_1} + 3 - {m^2} + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = 1\\
\Leftrightarrow 2m{x_1} - 2{x_1} + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = {m^2} - 2\\
\Leftrightarrow 2({x_1} + {x_2}) = {m^2} - 2\\
\Rightarrow 4(m - 1) = {m^2} - 2\\
\Leftrightarrow {m^2} - 4m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow m = \frac{{4 \pm 2\sqrt 2 }}{2} = 2 \pm \sqrt 2 .\\
\Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \;\;\;\left( {do\;\;m  <  2} \right).
\end{array}\)

Vậy \(m=2-\sqrt{2}\) là giá trị cần tìm.