Cho \(\Delta ABC\) có \({90^0} > \widehat B &gt...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

: Áp dụng các định lý sau:

- Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

- Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác.

Giải chi tiết:

a) Vì \(\widehat B > \widehat C\left( {gt} \right) \Rightarrow AC > AB\left( 1 \right)\)(quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác).

Mà HB, HC tương ứng là hình chiếu của AB, AC trên BC

 \( \Rightarrow HB < HC\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

b) Vì M nằm giữa B và H \( \Rightarrow HM < HB\) .

Mà HM và HB tương ứng là hình chiếu của AM và AB trên BC

\( \Rightarrow AM < AB\left( 2 \right)\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Vì N là một điểm nằm trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn BC nên ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: N thuộc tia đối của tia CB.

Nếu N thuộc tia đối của tia CB thì suy ra \(HN > HC\). Mà HN và HC tương ứng là hình chiếu của AN và AC trên BC \( \Rightarrow AC < AN\left( 3 \right)\)(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow AM < AB < AN.\)

+) Trường hợp 2: N thuộc tia đối của tia BC.

Nếu N thuộc tia đối của tia BC thì suy ra \(HN > HB\). Mà HN và HB tương ứng là hình chiếu của AN và AB trên BC \( \Rightarrow AB < AN\left( 4 \right)\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

  Từ \(\left( 2 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow AM < AB < AN.\)