Chọn dãy số tăng trong các dãy số có số h...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số tăng khi ta có hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\) hoặc thương \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1.\)

Giải chi tiết:

Dễ thấy đáp án B là dãy hằng vi \({{u}_{n}}=1\,\,\forall n\).

Đáp án D là dãy không tăng không giảm vì \(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 0\,\,khi\,\,n = 2k + 1\\{u_n} = 2\,\,khi\,\,n = 2k\end{array} \right.\)

Xét đáp án A: \({{u}_{n+1}}=\frac{n+1}{3{{\left( n+1 \right)}^{2}}+1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{3{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{3{n^2} + 1}}\\ = \frac{{3{n^3} + n + 3{n^2} + 1 - 3n\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) - n}}{{\left[ {3{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {3{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - 3{n^2} - 3n + 1}}{{\left[ {3{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {3{n^2} + 1} \right)}}\end{array}\)

Chưa kết luận được tính tăng giảm.

Xét đáp án C: \({{u}_{n+1}}=\frac{3\left( n+1 \right)+1}{\left( n+1 \right)+1}=\frac{3n+4}{n+2}\)

\(\Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{3n+4}{n+2}-\frac{3n+1}{n+1}=\frac{3{{n}^{2}}+7n+4-3{{n}^{2}}-7n-2}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}=\frac{2}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0\,\,\forall n.\)

Vậy dãy số ở đáp án C là dãy tăng.

Chọn C.