Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z - 4 = \left( {1 + i...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Biến đổi giả thiết để đưa về dạng hai số phức bằng nhau.

+ Từ đó giải hệ phương trình ta tìm được số phức \(z\)

+ Mô đun số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

Giải chi tiết:

Ta có \(z - 4 = \left( {1 + i} \right)\left| z \right| - \left( {4 + 3z} \right)i \Leftrightarrow z - 4 + \left( {4 + 3z} \right)i = \left( {1 + i} \right)\left| z \right|\)

\( \Leftrightarrow z - 4 + 4i + 3iz = \left( {1 + i} \right)\left| z \right| \Leftrightarrow z\left( {1 + 3i} \right) - 4 + 4i = \left( {1 + i} \right).\left| z \right|\,\,\left( * \right)\)

Gọi số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \),  khi đó ta có

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \)\(\left( {x + yi} \right)\left( {1 + 3i} \right) - 4 + 4i = \left( {1 + i} \right).\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3y - 4} \right) + \left( {3x + y + 4} \right)i = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \sqrt {{x^2} + {y^2}} i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 4 = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( 1 \right)\\3x + y + 4 = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x - 3y - 4 = 3x + y + 4 \Leftrightarrow x =  - 2y - 4\) với \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 4 \ge 0\\3x + y + 4 \ge 0\end{array} \right.\)

thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có \( - 5y - 8 = \sqrt {{{\left( { - 2y - 4} \right)}^2} + {y^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{8}{5}\\{\left( { - 5y - 8} \right)^2} = {\left( { - 2y - 4} \right)^2} + {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{8}{5}\\20{y^2} + 64y + 48 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{8}{5}\\\left[ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{6}{5}\left( L \right)\\y =  - 2\left( N \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(y =  - 2 \Rightarrow x = 0\). Suy ra \(z =  - 2i\) và \(\left| z \right| = 2\).

Chọn A.