Giải bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Đối với mỗi trường hợp của x, đưa phương trình về dạng tích sao cho hợp lí.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\{x^2} - 5x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 1\end{array} \right.\)

TH1: Nếu \(x \ge 4\), khi đó:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}  \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3}  \ge 2\sqrt {x - 4} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  - \sqrt {x - 4}  \ge \sqrt {x - 4}  - \sqrt {x - 3} \end{array}\)

(luôn đúng vì VT > 0, VP < 0 với mọi \(x \ge 4\)).

Vậy \(x \ge 4\) là nghiệm của bất phương trình.

TH2: Nếu \(x \le 1\), khi đó:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right)}  + \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {3 - x} \right)}  \ge 2\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} \)

Với \(x = 1\) thì \(0 + 0 \ge 0\) (đúng) \( \Rightarrow x = 1\) là nghiệm của bất phương trình.

Với \(x < 1\), bất phương trình có dạng:

\(\sqrt {2 - x}  - \sqrt {4 - x}  \ge \sqrt {4 - x}  - \sqrt {3 - x} \)

Nhận xét: VT < 0, VP > 0 \(\forall x < 1\), do đó bất phương trình vô nghiệm.

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).