Cho tứ diện ABCD có \(AB = 5,\,\,AC = 3,\,\,BC = 4...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích : \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.CD.d\left( {AB;CD} \right).\sin \widehat {\left( {AB;CD} \right)}\)

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của CD. Do tam giác ACD cân tại A, tam giác BCD cân tại B

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot CD\\BE \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB\)

Kẻ \(CF \bot AB\), ta dễ dàng chứng minh được \(DF \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {CDF} \right)\)  

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF \bot AB\\EF \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = EF\).

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại C \( \Rightarrow CF = \frac{{AC.BC}}{{AB}} = \frac{{3.4}}{5} = \frac{{12}}{5} = DF\) \( \Rightarrow C{F^2} + D{F^2} = C{D^2} \Rightarrow \Delta CDF\) vuông cân tại F.

\( \Rightarrow EF = \frac{1}{2}CD \Rightarrow EF = \frac{{6\sqrt 2 }}{5}\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.CD.d\left( {AB;CD} \right).\sin \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \frac{1}{6}.5.\frac{{12\sqrt 2 }}{5}.\frac{{6\sqrt 2 }}{5}.1 = \frac{{24}}{5}\).

Chọn đáp án A.