Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $\dpi{100} y=x^{3}-3x^{2}+4$ có đồ thị là (C). Gọi $\dpi{100} d_{k}$ là đường thẳng đi qua điểm A( -1; 0 ) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng $\dpi{100} d_{k}$ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và giao điểm B, C cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

A k=2

B k=-1

C k=-2

D k=1

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $d_{k} : y =k(x+1)$ ( 0,25đ)

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{3}-3x^{2}+4=k(x+1)$ (1)

<=> $(x+1)(x^{2}-4x+4)=k(x+1)$

<=> $(x+1)(x^{2}-4x+4-k)=0$

<=> $\left [ \begin{matrix} x=-1 & \\ x^{2}-4x+4-k=0 (2)& \end{matrix}$ (0,5đ)

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm A, B, C

<=> PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

<=> PT (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

<=> $\left\{\begin{matrix} \Delta =(-4)^{2}-4.1.(4-k)>0 & \\ (-1)^{2}-4.(-1)+4-k\neq 0 & \end{matrix}\right.$ (0,5đ)

<=> $\left\{\begin{matrix} k>0 & \\ k \neq 9& \end{matrix}\right.$ ( 0,25đ)

Gọi $x_{1}; x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (2). Theo Viet ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1} +x_{2}=4& \\ x_{1}.x_{2}=4-k & \end{matrix}\right.$ ( 0,25đ)

Do A(-1;0) => $x_{1}; x_{2}$ là hoành độ của B và C

=> $B(x_{1};kx_{1}+k); C(x_{2};kx_{2}+k)$ ( 0,25đ)

Có $d_{k} : y =k(x+1)$

<=> kx-y+k=0

=> $d (O; d_{k})=\frac{\left | k \right |}{\sqrt{k^{2}+1}}$ ( 0,25đ)

$\overrightarrow{BC}=(x_{2}-x_{1}; k (x_{2}-x_{1}))$

=> $BC= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+k^{2}(x_{2}-x_{1})^{2}}$

$BC=\sqrt{(k^{2}+1)[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]}$

Theo Viet ta có $BC=2.\sqrt{(k^{2}+1)k}$ ( 0,25đ)

=> $S_{OBC}=\frac{1}{2}.\frac{\left | k \right |}{\sqrt{k^{2}+1}}.2\sqrt{(k^{2}+1)k}=\left | k \right |.\sqrt{k}=1$

<=> $k^{3}=1$ => k =1 ( thỏa mãn ) ( 0,5đ)

Vậy k=1 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

( Chú y : gt nghĩa là dấu > ; lt nghĩa là dấu < )

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Sự tương giao của hàm bậc 3 - Có video chữa

↑