Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Tính chiều cao lăng trụ dựa vào định lý Pytago

Tính thẻ tích lăng trụ \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao lăng trụ

Giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC.\)

Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(AE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Vì \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AO = \dfrac{2}{3}.AE = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 3  = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác \(AOA'\) vuông tại \(A\) nên \(AA' = \sqrt {A'{O^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)

Thể tích lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3  = 2{a^3}.\)

Chọn A.