Biết \({\log _2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{100}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tính \(M\) rồi sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) là \({S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\,\left( {q \ne 1} \right)\)

+ Sử dụng công thức \({\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c;\,{\log _a}{b^\alpha } = \alpha .{\log _a}b\,\left( {0 < b,c \ne 1;a > 0} \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có \(M = \sum\limits_{k = 1}^{100} {\left( {k{{.2}^k}} \right) - 2 = {{1.2}^1} + {{2.2}^2} + {{3.2}^3} + ... + {{100.2}^{100}} - 2} \) \( = {2.2^2} + {3.2^3} + ... + {100.2^{100}}\)

Suy ra \(2M = 2.\left( {{{2.2}^2} + {{3.2}^3} + ... + {{100.2}^{100}}} \right) \) \(= {2.2^3} + {3.2^4} + {4.2^5} + ... + {100.2^{101}}\)

Suy ra \(M = 2M - M \) \(= {2.2^3} + {3.2^4} + ... + {100.2^{101}} - \left( {{{2.2}^2} + {{3.2}^3} + ... + {{100.2}^{100}}} \right)\)

\( = {100.2^{101}} - {2^3} - {2^3} - {2^4} - {2^5} - ... - {2^{100}} \) \(= {100.2^{101}} - \left( {{2^3} + {2^4} + {2^5} + ... + {2^{100}}} \right) - {2^3}\)

Xét tổng \({2^3} + {2^4} + ... + {2^{100}}\)  là tổng của \(98\) số hạng của cấp số nhân có \({u_1} = {2^3}\) và công bội \(q = 2.\)

Nên \({2^3} + {2^4} + ... + {2^{100}} = {2^3}.\dfrac{{1 - {2^{98}}}}{{1 - 2}} = {2^{101}} - {2^3}\)

Suy ra \(M = {100.2^{101}} - \left( {{2^{101}} - {2^3}} \right) - {2^3} \) \(= {99.2^{101}}\)

Từ đó \({\log _2}\left( {{{99.2}^{101}}} \right) \) \(= {\log _2}99 + {\log _2}{2^{101}} \) \(= 101 + {\log _2}99\) \( \Rightarrow a = 101;b = 99;c = 2 \Rightarrow a + b + c = 202.\)

Chọn B.