Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng lí thuyết \(d\left( {a,b} \right) = d\left( {a,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\), ở đó \(a,b\) chéo nhau, \(\left( P \right)\) chứa \(b\) và song song \(a\) và \(A \in a\) để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD,AB\).

- Tính khoảng cách và kết luận.

Giải chi tiết:

Do \(AB\parallel CD\) nên \(d\left( {SD,AB} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\) (do \(AC = \dfrac{4}{3}HC\))

Kẻ \(HE \bot CD\), kẻ \(HL \bot SE\) suy ra \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HL\)

Ta có: \(SA = 2a,AC = 4a\sqrt 2  \Rightarrow AH = \dfrac{1}{4}AC = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = a\sqrt 2 \), \(\dfrac{{HE}}{{AD}} = \dfrac{{CH}}{{CA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HE = \dfrac{3}{4}AD = 3a.\)

Khi đó \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HL = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {11} }}.\)

Vậy \(d\left( {SD,AB} \right) = \dfrac{4}{3}HL = \dfrac{{4a\sqrt {22} }}{{11}}.\)

Chọn B.