Trong không gian, cho hai đường thẳng \(\Delta :\,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(PQ\) là đoạn vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\). Xác định tọa độ các điểm \(P,Q\).

+) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta ,\,\,\Delta '\), đánh giá \(a + b \ge PQ\).

+) Sử dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta ,\,\,\Delta '\) \( \Rightarrow MH = a,\,\,MK = b\).

Gọi \(PQ\) là đoạn vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Lấy \(P\left( {t;t;t + 1} \right) \in \left( \Delta  \right);\,\,Q\left( {t' + 1;2t';t'} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {t' - t + 1;\,\,2t' - t;\,\,t' - t - 1} \right)\).

Gọi 2 VTCP của \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2;1} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' - t + 1 + 2t' - t + t' - t - 1 = 0\\t' - t + 1 + 4t' - 2t + t' - t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t' - 3t = 0\\6t' - 4t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P\left( {0;0;1} \right);\,\,Q\left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(a + b \ge HK \ge PQ = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có \({a^2} + 2{b^2} = \dfrac{{{a^2}}}{1} + \dfrac{{{b^2}}}{{\dfrac{1}{2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{1 + \dfrac{1}{2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{4}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{{\dfrac{1}{2}}}\\M \in PQ\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\M \in PQ\end{array} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow {MP}  =  - 2\overrightarrow {MQ} \).

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP}  = \left( { - a; - b;1 - c} \right);\,\,\overrightarrow {MQ}  = \left( {1 - a; - b; - c} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 2 + 2a\\ - b = 2b\\1 - c = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 0\\c = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{2}{3};0;\dfrac{1}{3}} \right) \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{3};\,\,{y_0} = 0 \Rightarrow {x_0} + {y_0} = \dfrac{2}{3}\).

Chọn A.