Tổng \({3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + .............

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất chia hết: \(a\,\, \vdots \,\,m;\,\,b\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow \left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m.\)

Giải chi tiết:

Đặt: \(A = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + .......... + {3^{2012}}\)

Số các số hạng của A là: \(\left( {2012 - 1} \right):1 + 1 = 2012\)  số hạng.

Ta có thể chia A thành 503 cặp gồm 4 số hạng.

\(\eqalign{ & A = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + .......... + {3^{2012}}  \cr & \,\,\,\,\,\, = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8}} \right) + ............. + \left( {{3^{2009}} + {3^{2010}} + {3^{2011}} + {3^{2012}}} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\, = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + {3^5}.\left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + .......... + {3^{2009}}.\left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\, = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right)\left( {1 + {3^5} + ........ + {3^{2009}}} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\, = 120.\left( {1 + {3^5} + ........ + {3^{2009}}} \right)\,\, \vdots \,\,120. \cr} \)

Vậy \({3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + .......... + {3^{2012}}\) chia hết cho 120.

\({3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + .......... + {3^{2012}}\)