Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC) có \(M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông.

b) Sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác để suy ra trung điểm cạnh còn lại.

Chứng minh 1 tứ giác là có 2 cạnh đối song song là hình bình hành.

c) Chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân dựa ào dấu hiệu hình bình hành có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Ta có: \(\mathop A\limits^ \wedge   = {90^0}\)(vì \(\Delta ABC\) vuông tại A)

           \(\widehat {MDA} = 90^\circ \)(do \(MD \bot AB\))

          \(\widehat {MEA} = 90^\circ \)(do \(ME \bot AC\))

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết)

b) Chứng minh E là trung điểm cuả đoạn thẳng AC và tứ giác CMDE là hình bình hành.

Ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot AC\\BA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow ME//BA\)(1)

Mà M là trung điểm của BC (gt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra E cũng là trung điểm của AC. (định lý đảo của đường trung bình).

Lại có : Tứ giác CMDE là hình chữ nhật nên \(MD//AE \Rightarrow MD//AC\)(3)

Mà M là trung điểm của BC (gt) (4)

Từ (3) và (4) suy ra D là trung điểm của AB.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow DE//BC \Rightarrow DE//MC\)(5)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}CA \bot AB\\HD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CA//HD \Rightarrow CE//HD\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra tứ giác DECM là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết).

c) Chứng minh tương tự ta có tứ giác DEMB cũng là hình bình hành\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {DEM}\)(7)

Tam giác BHA vuông có HD là trung tuyến \( \Rightarrow HD = DA = DB = \frac{{AB}}{2}\)

Suy ra DH=DB hay \(\Delta HBD\)cân tại D \( \Rightarrow \widehat B = \widehat {DHB}\)

Mà \(\widehat {DHB} = \widehat {HDE}\)(vì DE//BC)

Nên \(\widehat B = \widehat {HDE}\)(8)

Từ (7) và (8) suy ra \(\widehat {DEM} = \widehat {HDE}\)(9).

Xét tứ giác HMED có HM//DE nên tứ giác HMDE là hình thang (10)

Từ (9) và (10) suy ra tứ giác HMED là hình thang cân.