Một bác thợ muốn chế tạo một chiếc thùng đựng nước...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi chiều dài của tấm nhôm là x, tính chiều rộng của tấm nhôm theo x.

+) Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

+) Tính bán kính đáy của hình trụ.

+) Tính thể tích của hình trụ \(V = \pi {R^2}h\).

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài của tấm tôn là x (m) (ĐK : \(1,2 \le x < 2,4\)) ta có chiều rộng của tấm tôn là \(2,4 - x\,\,\left( m \right)\).

Khi cuộn tấm tôn để tạo thành hình trụ thì một chiều của tấm tôn sẽ trở thành chiều cao của hình trụ, chiều còn lại trở thành chu vi đáy của hình trụ.

TH1: Hình trụ có chiều cao bằng \(2,4 - x\) và chu vi đáy bằng x

\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{x}{{2\pi }}\)

\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{x}{\pi }} \right)^2}.\left( {2,4 - x} \right) = \frac{1}{\pi }{x^2}\left( {2,4 - x} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {2,4 - x} \right) = 2,4{x^2} - {x^3}\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = 4,8x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 1,6 \in \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)

\(f\left( {1,6} \right) = 2,048 \Rightarrow {f_{\max }} = f\left( {1,6} \right) = 2,048\)

\( \Rightarrow \) Chiều dài và chiều rộng của tấm tôn lần lượt là 1,6m và 0,8m

TH2 :  Hình trụ có chiều cao bằng x và chu vi đáy bằng \(2,4 - x\)

\( \Rightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{2,4 - x}}{{2\pi }}\)

\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{2,4 - x}}{\pi }} \right)^2}x = \frac{1}{\pi }{\left( {2,4 - x} \right)^2}x\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2,4 - x} \right)^2} = {x^3} - 4,8{x^2} + 5,76x\,\,\left( {x \in \left[ {1,2;2,4} \right)} \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 9,6x + 5,76 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,4 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\\x = 0,8 \notin \left[ {1,2;2,4} \right)\end{array} \right.\)

Vậy trường hợp này không thỏa mãn.

Chọn đáp án B.