Cho \(\Delta ABC,\) gọi \(A',\,B',\,C'\)  là các đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\)

Ta có: \(2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\vec{0}~\Leftrightarrow 2011\left( \overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB} \right)+2012\left( \overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC} \right)=\vec{0}\)

\( \Leftrightarrow 4023\overrightarrow {A'A}  + 2011\overrightarrow {AB}  + 2012\overrightarrow {AC}  = \vec 0.\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4023\overrightarrow {B'B}  + 2011\overrightarrow {BC}  + 2012\overrightarrow {BA}  = \vec 0\\4023\overrightarrow {C'C}  + 2011\overrightarrow {CA}  + 2012\overrightarrow {CB}  = \vec 0\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế lại ta được:

\(4023\left( \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'} \right)+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\vec{0}\)

Suy ra \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  \Rightarrow \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  = \vec 0\)

Do đó \(G\)  là trọng tâm \(\Delta A'B'C'.\)