Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H)

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\dfrac{z}{{16}}\) và \(\dfrac{{16}}{{\overline z }}\).

+) Tìm điều kiện của \(a,\,\,b\)  để \(\dfrac{z}{{16}}\) và \(\dfrac{{16}}{{\overline z }}\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

+) Biểu diễn miền các số phức thỏa mãn trên mặt phẳng phức và tính diện tích.

Giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \dfrac{z}{{16}} = \dfrac{a}{{16}} + \dfrac{b}{{16}}i,\,\,\,\,\,\dfrac{{16}}{{\overline z }} = \dfrac{{16}}{{a - bi}} = \dfrac{{16\left( {a + bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{16a}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{16b}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

Do \(\dfrac{z}{{16}}\) và \(\dfrac{{16}}{{\overline z }}\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\dfrac{a}{{16}},\,\,\,\dfrac{b}{{16}},\,\,\dfrac{{16a}}{{{a^2} + {b^2}}};\dfrac{{16b}}{{{a^2} + {b^2}}} \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le a \le 16\\0 \le b \le 16\\0 \le \dfrac{{16a}}{{{a^2} + {b^2}}} \le 1\\0 \le \dfrac{{16a}}{{{a^2} + {b^2}}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le a \le 16\\0 \le b \le 16\\{a^2} + {b^2} - 16a \ge 0\\{a^2} + {b^2} - 16b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le a \le 16\\0 \le b \le 16\\{\left( {a - 8} \right)^2} + {b^2} \ge 64\\{a^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} \ge 64\end{array} \right.\)

Diện tích hình (K) (phần gạch chéo) là: \({S_{(K)}} = 2.\dfrac{1}{4}.\left( {\pi {{.8}^2}} \right) + {8^2} = 32\pi  + 64\)

Diện tích cần tìm là : \(S = {16^2} - \left( {32\pi  + 64} \right) = \)\(32\left( {6 - \pi } \right)\). 

Chọn: D