Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định \(\left( \alpha  \right)\). Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết:

Ta có AC qua O và AC // EF \(\Rightarrow AC \subset \left( \alpha  \right)\).

Trong (SAD) qua A kẻ \(AP//EN\,\,\left( {P \in SD} \right) \Rightarrow AP//\left( {BEF} \right) \Leftrightarrow AP \subset \left( \alpha  \right)\).

Khi đó ta có \(\left( \alpha  \right) \equiv \left( {BEF} \right)\).

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right) = OP\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BN\\\left( \alpha \right)//\left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OP//BN\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{DP}}{{DN}} = \frac{{DO}}{{DB}}\).

Ta có : \(\frac{{DO}}{{OB}} = \frac{{DC}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DP}}{{DN}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DP}}{{PN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DP = \frac{1}{2}NP\).

Lại áp dụng định lí Ta-lét ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{2}{3}\,\,\left( {AP//EN} \right) \Rightarrow \frac{{SN}}{{NP}} = 2 \Rightarrow SN = 2NP\\\Rightarrow \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{{SN + NP}}{{SN + NP + DP}} = \frac{{2NP + NP}}{{2NP + NP + \frac{1}{2}NP}} = \frac{{3NP}}{{\frac{7}{2}NP}} = \frac{6}{7}\end{array}\)

Vậy \(\frac{{SP}}{{SD}} = \frac{6}{7}\).