Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy là hình vuông cạnh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\) 

Giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của \(S\) trên AC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có : \(\angle \left( {SA,\;\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA,\;AH} \right) = \angle \left( {SA,\;AC} \right) = \angle SAC.\) 

Ta có : \(AC = AB\sqrt 2  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2  = a.\)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA = AC.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\\SC = AC.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right..\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) và có đường cao \(SH\) ta có: \(SH = \dfrac{{SA.SC}}{{AC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

Chọn A.