Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle B...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-  Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác.

- Áp dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác và các tính chất của hai tam giác bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\angle HBA + \angle HAB = {90^0}\) (hai góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \angle HAB = {90^0} - \angle HBA = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Vậy \(\angle HAB = {30^0}\)

b) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ADI\) ta có:

\(AH = AD\,\,(gt)\)

\(IH = ID\) (do \(I\) là trung điểm của \(HD\))

\(AI\) là cạnh chung

Vậy \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\,(c.c.c)\)

Suy ra \(\angle HIA = \angle DIA\) (\(2\) góc tương ứng)

Mà \(\angle HIA + \angle DIA = {180^0}\) (\(2\)góc kề bù)

\( \Rightarrow \,\angle HIA = \angle DIA = {90^0}\)

Do đó: \(AI \bot HD\,\) (đpcm)

c) Vì \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\)(cm câu b)

\( \Rightarrow \angle HAK = \angle DAK\) (\(2\) góc tương ứng)

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta ADK\) ta có:

\(AH = AD\,\,(gt)\)

\(\angle HAK = \angle DAK\) (cmt)

\(AK\) là cạnh chung

Vậy \(\Delta AHK = \Delta ADK\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \angle AHK = \angle ADK = {90^0}\) (\(2\) góc tương ứng)

\( \Rightarrow KD \bot AC\)

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \(AB//KD\)  (đpcm)

d) Ta có:

 \(\begin{array}{l}\angle BAH + \angle HAD = \angle BAD = {90^0}\\ \Rightarrow \angle HAD = {90^0} - \angle BAH = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}\)

Lại có \(\angle HAK = \angle DAK\)(cmt)

Suy ra \(\angle HAK = \angle DAK = {30^0}\)

Theo chứng câu ta có \(\angle HAB = {30^0}\).

Vậy \(\angle HAB = \angle HAK\)

+) Xét hai tam giác vuông tại \(H\) là \(\Delta ABH\) và \(\Delta AKH\) ta có:

\(\angle BHA = \angle KHA = {90^0}\)

\(AH\) là cạnh chung

\(\angle HAB = \angle HAK\)(cmt)

Vậy \(\Delta ABH = \Delta AKH\,\,(c.g.c)\)

 \( \Rightarrow BH = KH\) (\(2\) cạnh tương ứng)

+) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta EKH\) ta có:

\(BH = KH\) (cmt)

\(\angle BHA = \angle KHE\) (\(2\) góc đối đỉnh)

\(AH = HE\,\) (gt)

Vậy \(\Delta ABH = \Delta EKH\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \angle ABH = \angle EKH\) (\(2\) góc tương ứng)

Mà \(\angle ABH\) và \(\angle EKH\) là hai góc so le trong

Suy ra \(AB//EK\)  (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà \(AB//KD\)  (cm câu c)

Theo tiên đề Ơ-clit thì đường thẳng \(EK\) trùng với đường thẳng \(KD\).

Do đó ba điểm \(D,K,E\) thẳng hàng.