Giả sử \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính tổng và tích \(x + y = S;xy = P\).

Khi đó x;y là nghiệm của phương trình \({t^2} - St + P = 0\)

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

Kết hợp với điều kiện xy min để tìm a.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{x^2} + {y^2} = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\{\left( {2a - 1} \right)^2} - 2xy = {a^2} + 2a - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\xy = \frac{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - {a^2} - 2a + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a - 1\\xy = \frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm khi :

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} \ge 4.\frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2} \Leftrightarrow \frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} \le a \le \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( * \right)\)

Mặt khác \(xy = \frac{{3{a^2} - 6a + 4}}{2} = \frac{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}}{2}\)

Với \(\frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} \le a \Rightarrow xy = \frac{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 1}}{2} \ge \frac{{3{{\left( {\frac{{4 - \sqrt 2 }}{2} - 1} \right)}^2} + 1}}{2}\)

Vậy min xy khi \(a = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{2}\)

Chọn A.