\({x^2} + 2x + 7 = 3\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \rig...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ thích hợp.

Giải chi tiết:

a) \({x^2} + 2x + 7 = 3\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \)

ĐK: \(x \ge  - 3\).

Nhận xét: \({x^2} + 2x + 7 = \left( {{x^2} + 1} \right) + 2\left( {x + 3} \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} + 1} \,\,\,\left( {a > 0} \right)\\b = \sqrt {x + 3} \,\,\,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right.\) , khi đó phương trình đã cho trở thành:

\({a^2} + 2{b^2} = 3ab \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = 2b\end{array} \right.\)

+) Với \(a = b \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = \sqrt {x + 3}  \Leftrightarrow {x^2} + 1 = x + 3\).

                  \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với \(a = 2b \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = 2\sqrt {x + 3}  \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 4\left( {x + 3} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;2;2 \pm \sqrt {15} } \right\}\).