Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = $\dpi{100} a\sqrt{3}$ . Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của AI, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng $\dpi{100} 60^{0}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.

A $\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; cos (AC,SB)= $\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}$

B $\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; cos (AC,SB) = - $\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}$

C $\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; cos (AC,SB)= $\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}$

D $\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}$ ; cos (AC,SB) = - $\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}$

Đáp án

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

- Tính thể tích của S.ABC

Có $\dpi{100} S_{ABC}= \frac{1}{2}.AB.AC$ = $\dpi{100} \frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}$ = $\dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Có AI = $\dpi{100} \frac{1}{2}.BC$ = $\dpi{100} \frac{1}{2}.\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}= a$

=> AB = AI = BI = a => tam giác ABI đều cạnh a

Xét tam giác vuông AHK vuông tại K

có góc A = $\dpi{100} 60^{0}$

AH = $\dpi{100} \frac{1}{2}AI= \frac{a}{2}$

sin60 = $\dpi{100} \frac{HK}{AH}$

=> HK = $\dpi{100} \frac{a}{2}$ . sin $\dpi{100} 60^{0}$

=> Hk = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác SHK vuông tại H

tan $\dpi{100} 60^{0}$ = $\dpi{100} \frac{SH}{HK}$

=> SH = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}$ . $\dpi{100} \sqrt{3}$ = $\dpi{100} \frac{3a}{4}$

=> $\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

- Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB và AC

Kẻ BD song song và bằng AC

=>Góc (AC,SB) = góc (SB,BD)

Có BD = AC = $\dpi{100} a\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông SHB

có SH = $\dpi{100} \frac{3a}{4}$ ; BH = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> SB = $\dpi{100} \sqrt{SH^{2}+BH^{2}}= \frac{a\sqrt{21}}{4}$

Xét tam giác BHD có BH = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; BD = $\dpi{100} a\sqrt{3}$ ; $\dpi{100} \widehat{HBD}= 120^{0}$

$\dpi{100} HD^{2}= BH^{2}+BD^{2}- 2BH.BD.cos120= \frac{21a^{2}}{4}$

=> $\dpi{100} HD= \frac{a\sqrt{21}}{2}$

$\dpi{100} SD = \sqrt{SH^{2}+HD^{2}}= \frac{a\sqrt{93}}{4}$

Xét tam giác SBD có:

cos SBD= $\dpi{100} \frac{SB^{2}+BD^{2}-SD^{2}}{2SB.BD}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$

=> cos (AC,SB) = cos ( SB,BD) = $\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Bài toán thể tích kết hợp với bài toán tính góc - Có video chữa

Lớp 12 Toán học Lớp 12 - Toán học