Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với 2 đường thẳng đó.

b) Chứng minh I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD).

c) Chứng minh SK // AD // BC. Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết:

a) Ta có: AB // CD, \(CD \subset \left( {SCD} \right);\,\,AB \not\subset \left( {SCD} \right)\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).

Do \(AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//AB\).

Mặt khác \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\) cùng giả thiết M khác S, C và N khác S, D \( \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(I = AM \cap BN\) nên ta có

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM\\AM \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BN\\BN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\)

Suy ra I thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC); (SBD).

Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO \Rightarrow I \in SO\) cố định.

c) Gọi \(K = AN \cap BM\).

Xét \(\Delta AKB\) có AB // MN \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{KM + BM}}{{KM}} = 1 + \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx//AD//BC\)

Mà \(K = AN \cap BM;\,\,AN \subset \left( {SAD} \right);\,\,BM \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow K \in Sx \Rightarrow SK//BC\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SKM \sim \Delta CBM \Rightarrow \frac{{BC}}{{SK}} = \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = 1 + \frac{{BC}}{{SK}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).