Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định thiết diện.

+) Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

+) Tính độ dài các cạnh của thiết diện.

+) Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn thì \(MN + PQ = MQ + PN \Leftrightarrow MN + PQ = 2QM\)

Giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) song song SA, AB\( \Rightarrow \left( P \right)//\left( {SAB} \right)\)

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( {SAB} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow MN//AB\)  và 

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ\\\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\MN//CD\left( {//AB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ//CD//MN\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang \(\left( {PQ//MN} \right)\)

*) Tính độ dài các cạnh của hình thang MNPQ:

\(\dfrac{{MQ}}{{SA}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a}\, \Rightarrow MQ = \dfrac{{a - x}}{a}.SA = \dfrac{{a - x}}{a}.2a = 2\left( {a - x} \right)\)

\(\dfrac{{PN}}{{SB}} = \dfrac{{CN}}{{BC}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a}\, \Rightarrow NP = \dfrac{{a - x}}{a}.SB = \dfrac{{a - x}}{a}.2a = 2\left( {a - x} \right)\)

\(\dfrac{{PQ}}{{CD}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow PQ = \dfrac{x}{a}.CD = \dfrac{x}{a}.a = x\)

Gọi \(I = MN \cap AC\).

Ta có: \(\dfrac{{MI}}{{CD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow MI = \dfrac{x}{a}.a = x\), \(\dfrac{{NI}}{{AB}} = \dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Rightarrow NI = \dfrac{{a - x}}{a}.3a = 3\left( {a - x} \right)\)

\( \Rightarrow MN = x + 3\left( {a - x} \right) = 3a - 2x\)

Ta thấy \(MN > PQ\left( {3a - 2x > x,\,\,\forall x < a} \right)\) và \(QM = PN = 2\left( {a - x} \right)\,\, \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.

*) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn:

Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn thì  

\( \Leftrightarrow 3a - 2x + x = 2.2\left( {a - x} \right) \Leftrightarrow 3a - x = 4a - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}\)

*) Tính bán kính đường tròn:

Tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD là trung điểm của đoạn thẳng H, K với H, K lần lượt là trung điểm của PQ và MN.

Khi đó, hình thang cân MNPQ có:\(PQ = \dfrac{a}{3},\,\,MN = \dfrac{{7a}}{3},\,\,MQ = NP = \dfrac{{4a}}{3}\)

\(HK = \sqrt {P{N^2} - {{\left( {\dfrac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4a}}{3}} \right)}^2} - {a^2}}  = \dfrac{{\sqrt 7 a}}{3}\)

\( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}\)

Vậy, bán kính của đường tròn đó là: \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}\)

Chọn: B