Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt \(t = {x^2}\), sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {\left. {t.f\left( t \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)

Chọn C.