Biết rằng \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{\ln }^{2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({{x}^{3}}\) và đặt ẩn phụ, đổi biến số tính giá trị tích phân

Giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{\ln }^{2}}x+\ln x}{{{\left( \ln x+x+1 \right)}^{3}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}.\frac{\ln x+1}{x}}{{{\left( \frac{\ln x+1}{x}+1 \right)}^{3}}}\,\text{d}x}\). Đặt \(t=\frac{\ln x+1}{x}\Leftrightarrow \text{d}t=-\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\,\text{d}x\) và \(\left\{ \begin{align} x=1\Rightarrow t=1 \\  x=e\Rightarrow t=\frac{2}{e} \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(I=-\,\int\limits_{1}^{\frac{2}{e}}{\frac{t}{{{\left( 1+t \right)}^{3}}}\,\text{d}t}=-\,\int\limits_{1}^{\frac{2}{e}}{\left[ \frac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{3}}} \right]\,\text{d}t}=\left. \frac{2t+1}{2{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \right|_{1}^{\frac{2}{e}}=\frac{{{e}^{2}}+4e-12}{8{{\left( e+2 \right)}^{2}}}.\)

Chọn A