Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các mặt bên đều là...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

+) Lấy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \({{d}_{2}}\) và song song với \({{d}_{1}}\). Khi đó, \(d({{d}_{1}},{{d}_{2}})=d({{d}_{1}},(P))\).

(Chọn sao cho ta dễ dàng tính được khoảng cách).

+) Tính khoảng cách giữa đường thẳng \({{d}_{2}}\) và mặt phẳng \((P)\).

Giải chi tiết:

Dựng hình bình hành A’C’B’D

\(\begin{align}  \Rightarrow A'D//B'C'\Rightarrow B'C'//\left( BDA' \right) \\  \Rightarrow d(B'C';BA')=d(B'C';(BDA')) \\ \end{align}\)

Gọi J là trung điểm A’D.

Kẻ \(B'H\bot BJ,\,\,H\in BJ\).

\(\Delta A'B'C'\)đều \(\Rightarrow \Delta A'B'D\) đều \(\Rightarrow B'J\bot A'D\)

Mà \(BB'\bot A'D\Rightarrow A'D\bot (BA'D)\Rightarrow A'D\bot B'H\)

\(\Rightarrow B'H\bot (A'DB)\Rightarrow d\left( B'C';A'B \right)=B'H\)

\(\Delta A'B'D\) đều, cạnh bằng a \(\Rightarrow B'J=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Delta JB'B\) vuông tại B’ \(\Rightarrow \frac{1}{B'{{H}^{2}}}=\frac{1}{BB{{'}^{2}}}+\frac{1}{JB{{'}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{7}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow B'H=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left( B'C';A'B \right)=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)

Chọn: B