Với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n\,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm n dựa vào các công thức tổ hợp, chỉnh hợp và áp dụng công thức tổng quát nhị thức Newtơn để tìm hệ số của số hạng.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(n\ge 6;\ \ n\in N.\)

Ta có \(C_{n\,-\,4}^{n\,-\,6}+nA_{n}^{2}=454\Leftrightarrow \frac{\left( n-4 \right)!}{2!.\left( n-6 \right)!}+n.\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}=454\Leftrightarrow \frac{\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)}{2}+{{n}^{2}}\left( n-1 \right)=454\)

\(\begin{align}  \Leftrightarrow \left( n-4 \right)\left( n-5 \right)+2{{n}^{2}}\left( n-1\right)=908\Leftrightarrow {{n}^{2}}-9n+20+2{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-908=0 \\  \Leftrightarrow 2{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-9n-888=0\,\,\xrightarrow{{}}\,\,n=8. \\ \end{align}\)

Với \(n=8,\) xét \({{\left( \frac{2}{x}-{{x}^{3}} \right)}^{n}}={{\left( \frac{2}{x}-{{x}^{3}} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{8}{C_{8}^{k}}.{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{8\,-\,k}}.{{\left( -\,{{x}^{3}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{8}{C_{8}^{k}}{{.2}^{8\,-\,k}}.{{\left( -\,1 \right)}^{k}}.{{x}^{4k\,-\,8}}.\)

Hệ số của \({{x}^{4}}\) ứng với \(4k-8=4\Leftrightarrow k=3.\) Vậy hệ số cần tìm là \(C_{8}^{3}{{.2}^{5}}.{{\left( -\,1 \right)}^{3}}=-\,1792.\)

Chọn B