Cho hệ phương trình

Câu hỏi: Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} = 3 x + 8 y \\ y^{3} = 3 y + 8 x \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. (0;0) là một nghiệm của hệ

B. $(\sqrt{11}; \sqrt{11}) v à (- \sqrt{11}; - \sqrt{11})$ là hai nghiệm của hệ

C. Hệ còn có nghiệm dạng $(x_{0}; y_{0})$ với $x_{0} \neq y_{0}$

D. Hệ chỉ có ba nghiệm

Đáp án

- Hướng dẫn giải

$\{\begin{cases} x^{3} = 3 x + 8 y (1) \\ y^{3} = 3 y + 8 x (2) \end{cases}$

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:;

$x^{3} - y^{3} = (3 x + 8 y) - (3 y + 8 x) \Leftrightarrow (x - y) . (x^{2} + x y + y^{2}) = - 5 x + 5 y \Leftrightarrow (x - y) . (x^{2} + x y + y^{2}) + 5 x - 5 y = 0 \Leftrightarrow (x - y) . (x^{2} + x y + y^{2}) + 5 (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - y = 0 \\ x^{2} + x y + y^{2} + 5 = 0 \end{array}$

* Nếu x- y = 0 hai x = y thay vào (1)ta được: $x^{3}$ = 3x + 8x

$\Leftrightarrow x^{3} = 11 x \Leftrightarrow x^{3} - 11 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = \sqrt{11} \Rightarrow y = \sqrt{11} \\ x = - \sqrt{11} \Rightarrow y = - \sqrt{11} \end{matrix}$