Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB = x

Vì $B_1,D_1$ là trọng tâm tam giác $ABC,ACD\Rightarrow \frac{M{D}_1}{MB}=\frac{M{B}_1}{MD}=\frac{2}{3}$

Suy ra:

$B_1{D}_1//BD\Rightarrow \frac{B_1{D}_1}{BD}=\frac{M_1{D}_1}{MB}=\frac{1}{3}\Rightarrow B_1{D}_1=\frac{BD}{3}$

Tương tự, ta được $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là tứ diện đều cạnh $\frac{x}{3}\Rightarrow \frac{V}{V_1}=27\iff V_1=\frac{V}{3^3}$

Khi đó $V_2=\frac{V_1}{3^3}=\frac{V}{3^{3.3}};V_4=\frac{V}{3^{3.4}}\to V_n-\frac{V}{3^{3n}}$

Suy ra $V+V_1+\mathrm{...}+V_n$

$=V\left(1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^9}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{3n}}\right)=V.S$

Tống S là tổng của cấp số nhân với:

$u_1=1;q=\frac{1}{27}\Rightarrow S={\frac{1-\left(\frac{1}{27}\right)}{1-\frac{1}{27}}}^n=\frac{27.\left(1-{27}^{-n}\right)}{26}$

Vậy $P=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{V.27\left(1-{27}^{-n}\right)}{26}=\frac{27}{26}V$

vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }{27}^{-n}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{27}^n}=0$