Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{C_...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\) sau đó giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  0 \le x \le y \hfill \cr   0 \le x \le y + 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le y\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  C_y^x:C_{y + 2}^x = {1 \over 3} \hfill \cr   C_y^x:A_y^x = {1 \over {24}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{y!} \over {x!\left( {y - x} \right)!}}.{{x!\left( {y + 2 - x} \right)!} \over {\left( {y + 2} \right)!}} = {1 \over 3} \hfill \cr   {{y!} \over {x!\left( {y - x} \right)!}}.{{\left( {y - x} \right)!} \over {y!}} = {1 \over {24}} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{\left( {y - x + 1} \right)\left( {y - x + 2} \right)} \over {\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = {1 \over 3} \hfill \cr   {1 \over {x!}} = {1 \over {24}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 4\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   {{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)} \over {\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = {1 \over 3}\,\,\left( * \right) \hfill \cr}  \right.  \cr   & \left( * \right) \Leftrightarrow 3{y^2} - 15y + 18 = {y^2} + 3y + 2  \cr   &  \Leftrightarrow 2{y^2} - 18y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  y = 8\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   y = 1\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;8} \right)\).

Chọn B.