Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác.

b) Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác

c) Để chứng minh \(AN \bot DE\) ta chứng minh tam giác AND là tam giác vuông tại N. 

Giải chi tiết:

a) Ta có  \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC};\widehat {BAE} = \widehat {EAC} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC}\)

Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\) (tính chất bắc cầu).

Xét hai tam giác DAC và BAE có:

AD = AB; \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\); AE = AC.

Do đó \(\Delta DAC = \Delta BAE\) (c.g.c)

b) Do \(\Delta DAC = \Delta BAE\) nên DC = BE(hai cạnh tương ứng), \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc tương ứng).

Gọi I là giao điểm của DC và BE, F là giao điểm của AB và DC.

Xét tam giác ADF ta có:  \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}\) (tam giác ADF vuông tại A).

Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}};\,\,\,\,\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}.\)

Xét tam giác BFI có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} + \widehat {FIB} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác).

\( \Rightarrow \widehat {FIB} = {90^0}\) hay \(DC \bot BE\) (đpcm).

c. Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMA\) ta có:

\(BM = MC\,\,\,\left( {gt} \right);\,\,\widehat {BMK} = \widehat {AMC}\) (hai góc đối đỉnh) và  \(AK = MK\,\,\left( {gt} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta BMK = \Delta CMA\,\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

\( \Rightarrow BK = AC = AE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat K\) (hai góc tương ứng)  

Mà \(\widehat {{A_2}};\,\,\widehat K\) là hai góc so le trong nên BK // AC.

Ta có:  \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = {90^0};\,\,\,\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_4}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {DAE} + \widehat {BAC} = {180^0}.\)

\(\widehat {ABK} + \widehat {BAC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía).

\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\left( { = {{180}^0} - \widehat {ABC}} \right).\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BAK\) có:

\(\begin{array}{l}AD = AE\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AE = BK\,\,\,\left( {gt} \right)\\\Rightarrow \Delta ADE = \Delta BAK\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {EDA}\). (Hai góc tương ứng bằng nhau).

Mà  \(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = {90^{0\,\,\,}}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} = {90^0}.\)

Xét \(\Delta ADN\) có:  \(\widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} + \widehat {DNA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DNA} = {90^0}.\)

\( \Rightarrow NK \bot DE\,\,\left( {dpcm} \right).\)