Cho hai số thực \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+1=2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các đánh giá qua bất đẳng thức Cosi và bình phương hai vế

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  x\ge 2 \\  y\ge -3 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(x+y+1\ge 0\).

●  Ta có \(\begin{align}  x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\, \\  =2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+3}\le \frac{4+x-2}{2}+\frac{4+y+3}{2}=\frac{x+y+9}{2} \\ \end{align}\).

Suy ra \(x+y+1\le \frac{x+y+9}{2}\Leftrightarrow x+y\le 7\).

●  Lại có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x+y+1 \right)}^{2}}=4\left( x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3} \right)\ge 4\left( x+y+1 \right)\) (do \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\ge 0\))

Suy ra \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow \left( x+y \right)\in \left[ 3;7 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\)

Chọn C.