Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a>b)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Ta chứng minh QPNM là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh QN//AB//CD ta chứng minh DQNF là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có cặp cạnh đối sonh song và bằng nhau là hình bình hành, lập luận để suy ra QN // AB // CD, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

+ Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật thông qua cạnh DF của hình bình hành DQNF (do QN = DF).

Giải chi tiết:

a) \(AQ \bot DQ\) (phân giác hai góc kề bù A và D).

Suy ra \(\widehat {MPQ} = {90^ \circ }\)

Tương tự :\(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\)

Xét tứ giác MNPQ có \(\widehat {MQP} = \widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\), do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Ta chứng minh NQ song song với AB và CD.

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra DQ = QE = DE:2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2.

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF.

Suy ra DQ = FN và DQ // FN.

Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó:QN//DF hay QN // AB // CD.

Ta có: QN = DF = CD – CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b.

Vậy độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng hiệu hai cạnh hình bình hành.