Tính tổng \(S=1.2+2.3+.\text{ }.\text{ }.+(n-2)(n...

Tính tổng $S=1.2+2.3+.\text{ }.\text{ }.+(n-2)(n-1)+(n-1)n$ với mọi $n\ge 2$

A $\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{6}$

B $\frac{n\left( {{n}^{2}}+1 \right)}{3}$

C $\frac{2n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}$

D $\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dự đoán công thức.

- Chứng minh công thức dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Khi n = 2 thì S = 1.2 = 2 $=\frac{2\left( {{2}^{2}}-1 \right)}{3}$

Khi n = 3 thì S = 1.2 + 2.3 = 8 $=\frac{3\left( {{3}^{2}}-1 \right)}{3}$

Khi n = 4 thì S = 1.2 +2.3 + 3.4 = 20 $=\frac{4\left( {{4}^{2}}-1 \right)}{3}$

Dự đoán công thức: $S=\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}$

Ta chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp.

Khi n = 2 thì công thức trên đúng.

Giả sử công thức trên đúng đến n = k, tứ là $1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k=\frac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)}{3}$

Ta chứng minh công thức trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

$1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k+k\left( k+1 \right)=\frac{\left( k+1 \right)\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3}$

Từ giả thiết quy nạp ta có :

$\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + ... + \left( {k - 1} \right)k + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)}}{3} + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1 + 3} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)}}{3} = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\end{array}$