Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. Gọi G là trọn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(GCD).

- Chứng minh thiết diện là tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân đó bằng cách kẻ thêm đường cao.

Giải chi tiết:

Trong (ABC) gọi \(F=CG\cap AB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {GCD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = CF,\\\left( {GCD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = DF\\\left( {GCD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\end{array}\)

Vậy thiết diện là tam giác FCD.

Tam giác ABC và ABD là tam giác đều cạnh a nên \(FC=FD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \Delta FCD\)cân tại F.

Kẻ \(FH\bot CD\Rightarrow H\) là trung điểm của CD.

Xét tam giác vuông FCH có: \(FH=\sqrt{F{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

\(\Rightarrow{{S}_{FCD}}=\frac{1}{2}FH.CD=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}.\)

Chọn B.