Cho hàm số: \(y = {{{x^2} + x - 2} \over {x - 2}}\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta có đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\left[ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \left( {f\left( x \right) - ax - b} \right){\rm{ = 0}} \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \left( {f\left( x \right) - ax - b} \right){\rm{ = 0}} \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có TCĐ của hàm đã cho là x = 2 và \({{{x^2} + x - 2} \over {x - 2}} = {{(x - 2)(x + 3) + 4} \over {x - 2}} = x + 3 + {4 \over {x - 2}}\) nên sẽ có TCX là: \(y = x + 3\).

\(y' = \left( {{{{x^2} + x - 2} \over {x - 2}}} \right)' = {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 4{\rm{x}}} \over {{{(x - 2)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ  thuộc đồ thị là: \(y = {{{x^2}_0 - 4{{\rm{x}}_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {{{x_0}^2 + {x_0} - 2} \over {{x_0} - 2}}\)

Giao của tiếp tuyến với \(y = x + 3\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của:

\(\eqalign{ & x + 3 = {{ - 4{{\rm{x}}_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {{{x_0}^2 + {x_0} - 2} \over {{x_0} - 2}} \cr & \Rightarrow x.(1 + {{4{{\rm{x}}_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}) = {{4{{\rm{x}}_0}^2} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} - 3 + {{{x_0}^2 + {x_0} - 2} \over {{x_0} - 2}} \cr & \Rightarrow x.{{x_0^2 + 4} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} = {{4{{\rm{x}}_0}^2 - 3({x_0}^2 - 4{{\rm{x}}_0} + 4) + ({x_0}^2 + {x_0} + 2)({x_0} - 2)} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} = {{{x_0}^3 + 12{{\rm{x}}_0} - 16} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} \cr & \Rightarrow x = {{{x_0}^3 + 12{{\rm{x}}_0} - 16} \over {{x_0}^2 + 4}} \cr & \Rightarrow C({{{x_0}^3 + 12{{\rm{x}}_0} - 16} \over {{x_0}^2 + 4}},{{{x_0}^3 + 3{{\rm{x}}_0}^2 + 12{{\rm{x}}_0} - 4} \over {{x_0}^2 + 4}}) \cr} \)

 Các giao điểm còn lại: \(A\left( {2,5} \right)\,;\,B\left( {2;{{{x_0}^2 + 5{{\rm{x}}_0} - 2} \over {{x_0} - 2}}} \right)\)

Đến đây nhanh nhất vẫn là thử từng đáp án để xem đâu là chu vi nhỏ nhất.

Chọn D.