Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình \({\log _{\s...

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${\log _{\sqrt 2 }}(x - 1) + {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) = 1$

$S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

$S = \left\{ {2 - \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\}$

$S = \left\{ 3 \right\}$

$S = \left\{ {\dfrac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện. Đưa về cùng loga cơ số để rút gọn. Dùng công thức cộng logarit ${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {x.y} \right)\,\,\left( {x;y > 0} \right)$

Giải chi tiết:

Điều kiện $x > 1$

Phương trình đã cho tương đương với

$\begin{array}{l}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{{2^{ - 1}}}}\left( {x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} - {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 5 \end{array}$