Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và đánh giá giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết:

Với x, y là các số thực dương, ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) + 1 = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + 3xy + x\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3\left( {1 - y} \right)} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + 3xy + x\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}x + x,\,\,\left( {x > 0} \right)\,\,\)ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + 1 > 0,\,\forall x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó, phương trình (1) \( \Leftrightarrow f\left( {3 - 3y} \right) = f\left( {x + 3xy} \right) \Leftrightarrow 3 - 3y = x + 3xy \Leftrightarrow 3xy + 3y + x = 3\)

\( \Leftrightarrow 3y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 4 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\,\,(2)\)

Ta có:  \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) \le {\left( {\frac{{x + 1 + y + \frac{1}{3}}}{2}} \right)^2}\, \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le {\left( {\frac{{P + \frac{4}{3}}}{2}} \right)^2}\, \Leftrightarrow \frac{{P + \frac{4}{3}}}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow P + \frac{4}{3} \ge \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow P \ge \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + \frac{1}{3}\\\left( {x + 1} \right)\left( {y + \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2\sqrt 3  - 3}}{3}\\y = \frac{{2\sqrt 3  - 1}}{3}\end{array} \right.\).

Chọn: B