Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

- Hướng dẫn giải

* Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

$2^{k+2}>2(k+1)+3$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$